Números transfinitos

O  matemático alemán Georg Cantor escribiu unha teoría de conxuntos que achega resultados moi curiosos.

Georg Cantor

O cardinal dun conxunto, que en conxuntos finitos é un número tamén finito (e designa o número de elementos do conxunto), e un número infinito nos conxuntos infinitos. Pero os cardinais de diferentes conxuntos infinitos non teñen por que ser iguais, de xeito que aparecen conxuntos infinitos “máis infinitos” que outros. O cardinal indícase co signo #.

Así, temos os conxuntos infinitos numerables: o cardinal dos números naturais é #ℕ, o cardinal dos números enteiros é #ℤ, o cardinal dos números racionais é #ℚ e o cardinal dos números reais é #ℝ. Resulta que os conxuntos dos números naturais, enteiros e reais poden poñerse en correspondencia biunívoca entre eles, polo que:

#ℕ=#ℤ=#ℚ

Pero ningún deles, que son “igual de infinitos”, se pode poñer en relación co conxunto dos números reais, que é, polo tanto, un infinito “maior”:

#ℚ<#ℝ

Por outra banda, resulta que

#ℝ=#ℝ²=#ℝ³=…=#ℝn

Como o conxunto dos números reais ℝ se relaciona co número de puntos dunha recta, resulta que o plano (ℝ²) ten o mesmo número de puntos que a recta, que tamén é igual ao do espazo tridimensional (ℝ³) ou ao dun espazo en calquera dimensión (ℝn)!!!

Este cardinal indícase frecuentemente como c:

#ℝn=c

Ademais, poden facerse conxuntos cos elementos de ℕ, definíndose que “Álef sub cero” é o cardinal de ℕ e de todos os conxuntos que se poidan poñer en correspondencia biunívoca co conxunto dos números naturais:

\aleph_0=#ℕ

E os seguintes “Álef” son os cardinais inmediatamente superiores:

\aleph_1>#ℕ

Para os matemáticos sempre estivo claro que

c≥\aleph_1

Pero Cantor nunca puido probar que

c=\aleph_1

Houbo que esperar a Paul Cohen para solventar este misterio. E a solución que achegou é que… non hai solución!

Paul Cohen

Kurt Gödel demostrara que determinados problemas matemáticos son irresolubles utilizando as regras do propio sistema, e este resultara ser un deses problemas. Polo tanto, pódense crear teorías de conxuntos nos que a igualdade se verifique, e outras nas que non exista tal igualdade.

Kurt Gödel

A título de curiosidade, diremos que Cantor, o inventor da teoría de conxuntos, rematou os seus días tolo , internado nun sanatorio mental.

Fontes: JOAQUÍN NAVARRO, Ideas fugaces, teoremas eternos: grandes problemas de las matemáticas, Editorial RBA libros, 2011.

Esta entrada foi publicada en 1º bacharelato, CCMC, Cousas interesantes, Sen categorizar. Garda o enlace permanente.

Deixa unha resposta